这个乘积信号的傅里叶系数不需要先在时域做相乘运算，再求傅里叶系数，可以直接用2个周期信号的傅里叶系数的卷积计算出来：
[3,17,28,12]=[1,5,6]*[3,2]，其中“*”表示卷积。
换句话说：对于两个周期信号，时域相乘相当于频域卷积。
2．离散序列的卷积
任意两个序列x[n]和y[n]的卷积为：
下面以下图所示的x[n]和y[n]为例，看一下卷积的计算过程。
反褶：对y[k]进行反褶得到y[-k]，这就是“卷积”中所谓的“卷”。
x[k]和y[-k]如图所示。
平移0：n=0，y[-k]平移0得到y[0-k]，与x[k]相乘（k=0~n），再求和得到z[0]=x[0]y[0]，如图所示。
平移1：n=1，y[-k]向右平移1得到y[1-k]，与x[k]相乘（k=0~n），再求和得到z[1]=x[0]y[1]+x[1]y[0]，如图所示。
平移2：n=2，y[-k]向右平移2得到y[2-k]，与x[k]相乘（k=0~n），再求和得到z[2]=x[0]y[2]+x[1]y[1]+x[2]y[0]，如图所示。
平移3：n=3，y[-k]向右平移3得到y[3-k]，与x[k]相乘（k=0~n），再求和得到z[3]=x[0]y[3]+x[1]y[2]+x[2]y[1]+x[3]y[0]，如图所示。
以此类推，中间过程略。
平移9：n=9，y[-k]向右平移9得到y[9-k]，与x[k]相乘（k=0~n），再求和得到z[9]=x[0]y[9]+x[1]y[8]+x[2]y[7]+…+x[8]y[1]+x[9]y[0]，如图所示。
至此我们得到了z[n]=x[n]*y[n]，如图所示。
前面讲解了频谱为离散谱的两个信号乘积的频谱，下面来看一下频谱为连续谱的两个信号乘积的频谱。
3．频域卷积定理
时域相乘相当于频域卷积，对两个频谱为连续谱的信号也是适用的，只是卷积要由两个离散序列的卷积改为两个连续函数的卷积。
也就是说：
这就是频域卷积定理。
4．连续函数的卷积
为了便于区分，一般将两个离散序列的卷积称为“卷积和”，将两个连续函数的卷积称为“卷积积分”。
卷积和的计算过程为：反褶—平移—相乘—求和。卷积积分的计算过程与其类似：反褶—平移—相乘—积分，只是要将最后一步“求和”改为“积分”。
两个连续函数：X(f)和Y(f)
其卷积为：
1）两个连续函数的卷积
下面以矩形函数和锯齿函数的卷积为例，看一下两个连续函数卷积积分的计算。
已知：
求
X(f)和Y(f)如图所示。
第一步：反褶，将Y(τ)反褶，得到Y(-τ)，如图所示。
第二步：平移，将Y(-τ)平移f，得到Y(f-τ)。下面挑几个典型的f取值画一下Y(f-τ)的图。
当f=0时，Y(f-τ)=Y(-τ)，如图所示。
当f=1时，Y(-τ)从原来的位置向右平移1，得到Y(1-τ)，如图所示。
当f=2时，Y(-τ)从原来的位置向右平移2，得到Y(2-τ)，如图所示。
当f=3时，Y(-τ)从原来的位置向右平移3，得到Y(3-τ)，如图所示。
当f=4时，Y(-τ)从原来的位置向右平移4，得到Y(4-τ)，如图所示。
当f=5时，Y(-τ)从原来的位置向右平移5，得到Y(5-τ)，如图所示。
第三步：相乘，X(τ)Y(f-τ)。
在特定的几个f取值情况下，X(τ)Y(f-τ)结果如图所示。
很容易看出：当f≤1时，X(τ)Y(f-τ)=0
当1≤f≤5时，X(τ)Y(f-τ)是一条直线，斜率为-1/2，经过（f,0）这一点
当f≥5时，X(τ)Y(f-τ)=0
第四步：
当f≤1时，
当1≤f≤3时，
当3≤f≤5时，
当t≥5时，
将X(f)、Y(f)和X(f)*Y(f)画到一张图中，如图所示。
2）与单位冲激函数做卷积
通过前面矩形函数和锯齿函数的卷积积分计算过程可以发现：卷积积分的计算很麻烦。值得庆幸的是：通信系统中很少用到这样的卷积积分，有一类卷积积分倒是很常用，那就是：与单位冲激函数做卷积。
下面看一下函数X(f)与δ(f)的卷积积分：X(f)*δ(f)
根据卷积的定义：
因为δ(f-τ)只有在τ=f时才不为0，所以：
将X(f)从积分符号内提取到前面，得
其中用到了：
由此得到：X(f)*δ(f)=X(f)
也就是说：一个函数与单位冲激函数的卷积结果为函数本身，如图所示。
根据卷积的定义：
因为
只有在
时才不为0，所以： 将
从积分符号内提取到前面，得 其中用到了：
由此得到：
即：一个函数X(f)与单位冲激函数的卷积结果为X(f-f0)。
如果X(f)和δ(f-f0)是两个信号的频谱，则这两个频谱做卷积的结果就是将X(f)的频谱搬移到单位冲激函数δ(f-f0)所在位置（f=f0），如图所示。
5．频域卷积定理在调制中的应用
通信系统中什么场景下会用到频域卷积定理呢？
调制就是很常见的一种场景。
例如：信号x(t)调制到载波
上，如图所示。 y(t)是x(t)和
的乘积：
x(t)、
、
y(t)的波形如图所示。 信号x(t)的频谱为：X(f)
载波
的频谱为： 根据频域卷积定理，y(t)的频谱为：
由此得到：
也就是说：将信号x(t)调制到载波
上的过程，就是将信号x(t)的频谱X(f)一分为二分别向左和向右搬移的fo过程，如图所示。
6．频域卷积定理在采样中的应用
除了调制中会用到频域卷积定理以外，采样中也会用到频域卷积定理。
采样就是模拟信号和抽样脉冲相乘得到抽样信号的过程，如图所示。
x(t)是模拟信号。
p(t)是抽样脉冲，采样周期为Ts。
y(t)是x(t)和p(t)的乘积：y(t)=x(t)p(t)，被称为抽样信号。
x(t)、p(t)和y(t)信号如图所示。
在分析抽样信号的频谱之前，先来看一下抽样脉冲信号的频谱。
抽样脉冲信号p(t)是一个周期信号，周期为Ts，代入前面所讲的一般周期信号的傅里叶变换计算公式，可以得到：
其中：
一般称为采样频率。 在积分区间
，
因此： 至此，我们得到了抽样脉冲p(t)的傅里叶变换：
也就是说：抽样脉冲的频谱为一系列强度为fs的冲激，冲激之间的间隔为fs，如图所示。
知道了抽样脉冲的频谱之后，就可以分析抽样信号的频谱了。
根据频域卷积定理：时域相乘相当于频域卷积。
再结合：与冲激信号做卷积，相当于频谱搬移。
可以得出：在时域以Ts为周期对信号x(t)进行采样，相当于在频域以采样频率fs为间隔对x(t)的频谱进行周期性拓展，如图所示。
九、信号卷积的傅里叶变换
通信系统中除了会涉及两个信号的乘积之外，还会涉及两个信号的卷积。什么场景会涉及两个信号的卷积，两个信号卷积的频谱与两个信号的频谱之间是什么关系呢？这要从系统的单位冲激响应说起。
1．离散系统的单位冲激响应
一个系统，在输入端输入信号，在输出端会得到相应的输出信号，如图所示。
如何描述系统对信号所做的处理呢？
先来了解一种信号：δ[n]，单位冲激序列，如图所示。
δ[n]的定义为：
如果把δ[n]作为输入信号输入离散系统，则对应的输出被称为单位冲激响应序列，一般用符号h[n]来表示，如图所示。
后面会看到：有了h[n]后，离散系统输入任何序列都可以得到对应的输出序列，因此常常用单位冲激响应序列h[n]来描述一个离散系统，如图所示。
y[n]、x[n]和h[n]三者之间是什么关系呢？
考虑到系统输入δ[n]时对应的输出为h[n]，输入δ[n-k]时对应的输出为h[n-k]，可以将x[n]分解为一系列δ[n-k]之和
x[k]δ[n-k]对应的输出为x[k]h[n-k]
将所有输出叠加，即可得
也就是说：离散系统的输出等于输入序列和单位冲激响应序列的卷积。
y[n]=x[n]*h[n]，其中*表示卷积。
下面看一个例子。假定离散系统的输入序列x[n]和单位冲激响应序列h[n]如图所示。
先对x[n]进行分解：
x[0]δ[n]及其对应的输出x[0]h[n]，如图所示。
x[1]δ[n-1]及其对应的输出x[1]h[n-1]，如图所示。
x[2]δ[n-2]及其对应的输出x[2]h[n-2]，如图所示。
x[3]δ[n-3]及其对应的输出x[3]h[n-3]，如图所示。
x[4]δ[n-4]及其对应的输出x[4]h[n-4]，如图所示。
x[5]δ[n-5]及其对应的输出x[5]h[n-5]，如图所示。
将所有的输出叠加，得到：
如图所示。
2．连续系统的单位冲激响应
如果把单位冲激信号δ(t)作为输入信号输入连续系统，则对应的输出被称为单位冲激响应，一般用符号h(t)来表示，如图所示。
后面会看到：有了h(t)后，连续系统输入任何信号都可以得到对应的输出信号，因此常常用单位冲激响应h(t)来描述一个连续系统，如图所示。
与离散系统类似，连续系统的输出也是等于输入信号和单位冲激响应的卷积：y(t)=x(t)*h(t)
下面以利用理想低通滤波器从抽样信号中重建模拟信号为例，看一下输出信号与输入信号、单位冲激响应的关系，如图所示。
将单位冲激信号输入理想低通滤波器时，输出的单位冲激响应是一个sinc信号，如图所示。
将抽样信号输入理想低通滤波器时，输出的是原始模拟信号，如图所示。
为什么通过理想低通滤波器可以重建原始模拟信号呢？
将抽样信号分解成一系列冲激信号之和，每个冲激信号会在理想低通滤波器的输出端产生一个冲激响应，只要将所有冲激响应叠加起来就可以得到输出信号。
所有冲激信号及其对应的冲激响应如图所示。
很明显，所有冲激响应的叠加结果就是原始模拟信号，如图所示。
3．时域卷积定理
两个信号卷积的频谱与两个信号的频谱之间是什么关系呢？
答案是：两个信号做卷积，相当于在频域做乘法。这就是时域卷积定理。也就是说：
若：y(t)=x(t)*h(t)，则：Y(f)=X(f)H(f)
其中：
下面对时域卷积定理做一下推导。
根据傅里叶变换的定义，得
根据卷积的定义，得
代入上式，得
将
从外层积分移入内层积分，同时将x(τ)从内层积分移入外层积分： 根据傅里叶变换的时移特性：
代入，得
其中：
至此得到：Y(f)=X(f)H(f)
4．时域卷积定理在滤波中的应用
根据时域卷积定理，滤波器输出信号的频谱等于输入信号的频谱和滤波器频率响应的乘积。接着前面利用理想低通滤波器从输入抽样信号重建模拟信号的例子。
抽样信号的频谱是由原始模拟信号频谱以采样频率为间隔进行周期性拓展得到的，如图所示。
理想低通滤波器的频率响应如图所示。
二者相乘就可以得到输出信号的频谱，如图所示。
很明显，这正是原始模拟信号的频谱。
