虽然傅里叶变换统一了周期信号和非周期信号的频谱分析方法，但由于其输入和输出都是连续信号，不方便在计算机和数字信号处理器中进行处理，于是离散傅里叶变换应运而生。离散傅里叶变换的输入和输出都是离散的数字信号。
与傅里叶变换一样，离散傅里叶变换也分为正变换和逆变换。
一、离散傅里叶正变换
1．什么是离散傅里叶正变换
离散傅里叶正变换的输入是N个时域样点数据：x(n)，输出是N个频域样点数据：X(k)，如图所示。
x(n)到X(k)的变换关系：
这就是离散傅里叶正变换表达式。
2．复指数信号的离散傅里叶变换
下面以复指数信号的频谱分析为例，认识一下离散傅里叶正变换。频率为1Hz的复指数信号
，如图所示。
截取上述复指数信号的一个周期，并以8Hz采样频率对其进行采样，如图所示。
对采样数据进行离散傅里叶变换，如图所示。
频率为1Hz的复指数信号的离散傅里叶变换只在k=1处有值，这个好理解，因为k=1对应的频率就是1Hz。
再来看一下频率为-1Hz的复指数信号
，如图所示。
截取上述复指数信号的一个周期，并以8Hz采样频率对其进行采样，如图所示。
对采样数据进行离散傅里叶变换，如图所示。
频率为-1Hz的复指数信号的离散傅里叶变换只在k=7处有值，这如何理解呢？
离散傅里叶正变换的表达式中限定了k的取值范围为：0~N-1，现在放开限制，看看DFT的结果会是什么样？接着前面这个例子，放开k的取值范围限制，结果如图所示。
很明显，放开对k的取值范围的限制后，离散傅里叶变换的结果X(k)成为一个周期函数，以N为周期无限循环。
实际上这个结论可以直接从傅里叶正变换的表达式推导出来。
由：
可得
即：X(k+N)=X(k)
很明显：N=8的情况下，k=7的X(k)取值与k=-1的X(k)取值是相同的，因此只要认为k=7对应的频率为-1Hz就好理解了。
下面再来看一下X(k)的取值。
从前面频率为1Hz的复指数信号一个周期采样数据的8点DFT来看，k=1时X(k)的取值为8。对比一下频率为1Hz的复指数信号的傅里叶系数，其取值为1，如图所示。
可以发现：用N去除复指数信号一个周期采样数据的DFT结果，刚好与复指数信号的傅里叶系数相等，如图所示。
3．余弦信号的离散傅里叶变换
下面再来看一下频率为1Hz的余弦信号一个周期采样数据的离散傅里叶变换。该余弦信号一个周期的采样数据及其8点DFT结果如图所示。
DFT结果仅在k=1（对应频率1Hz）和k=7（对应频率-1Hz）处有值：X(1)=X(7)=4，用N=8去除4，刚好得到0.5，与余弦信号的傅里叶系数是完全相等的，如图所示。
4．离散傅里叶正变换的本质
回顾前面的分析过程可以发现：对余弦信号的一个周期进行周期拓展，得到一个周期信号，求这个周期信号的傅里叶系数并乘以N得到的结果，与直接对余弦信号的一个周期进行采样再做N点离散傅里叶变换的结果，二者是完全等价的，如图所示。
这揭示了离散傅里叶正变换的本质：
表面上看是对时域采样数据进行N点离散傅里叶正变换，实质上求的是被采样信号周期性拓展得到的周期信号的傅里叶系数再乘以点数N。
5．离散傅里叶正变换表达式的推导
通过前面的讲解，我们对离散傅里叶变换的本质有了比较深刻的认识。但有一个问题我们还没搞清楚，那就是：离散傅里叶正变换的表达式是怎么得到的？
已知：x(0)，x(1)，x(2)，…，x(N-1)和离散傅里叶逆变换表达式：
求：X(k)(k=0，1，2，…，N-1)
1）二元一次方程组的求解
先来看一个简单的，即N=2的情况。
根据傅里叶逆变换表达式，列出二元一次方程组：
下面来解这个二元一次方程组。
式（2-8）减去式（2-9），得
其中
，代入得
将式（2-10）式代入式（2-8），得
X(0)=x(0)+x(1)
由此得到二元一次方程组的解：
将N=2代入离散傅里叶正变换的表达式：
得
可以发现：二者是完全相同的。
2）三元一次方程组的求解
下面再看一下N=3的情况。
根据傅里叶逆变换的表达式，列出三元一次方程组：
下面来解这个三元一次方程组。
采用消元法，先消去X(0)：
式（2-11）减去式（2-12），得
式（2-11）减去式（2-13），得
组成二元一次方程组：
下面来解这个二元一次方程组。
为了消去X(1)，式（2-14）两端乘以
减去式（2-15），得
两端同除以
，得
将式（2-16）代入式（2-14），得
两端同除以
得
将式（2-16）和式（2-17）代入式（2-11）：
由此得到：
注：前面的求解过程中主要用到了下面三个等式：
至此，我们得到了三元一次方程组的解：
这个结果与离散傅里叶正变换的表达式是完全相同的：
将N=3代入，得到：
3）N元一次方程组的求解
下面看一下一般的情况。
按照n=0，1，2，…，N-1将上式拆成N个式子：
为了看得更清楚，将其整理成如下形式：
x(n)是已知的，X(k)是未知数，从N个方程式中求解N个未知数，实质就是求N元一次方程组的解。
利用消元法，就可以得到离散傅里叶变换表达式：
具体的推导过程这里不再赘述。
二、离散傅里叶逆变换
1．什么是离散傅里叶逆变换
离散傅里叶逆变换正好相反，输入是N个频域的样点数据：X(k)，输出是N个时域的样点数据：x(n)，如图所示。
X(k)到x(n)的变换关系：
这就是离散傅里叶逆变换表达式。
2．如何理解离散傅里叶逆变换表达式
由离散傅里叶逆变换表达式可以看出：
离散傅里叶逆变换就是将时域样点序列x(n)分解成一系列加权的复指数序列
之和，加权系数就是：X(k)/N。
具体来说就是：
直流样点序列：
逆时针旋转的复指数序列：旋转圈数为1圈
逆时针旋转的复指数序列：旋转圈数为2圈
……
逆时针旋转的复指数序列：旋转圈数为N/2圈
顺时针旋转的复指数序列：旋转圈数为N/2-1圈
顺时针旋转的复指数序列，旋转圈数为N/2-2圈
……
顺时针旋转的复指数序列：旋转圈数为1圈
注：
综上所述，时域样点序列x(n)可以用N个复指数序列来合成：
直流序列：1个，相当于旋转圈数为0圈。
逆时针旋转的复指数序列：N/2个，旋转圈数分别为1~N/2圈。
顺时针旋转的复指数序列：N/2-1个，旋转圈数分别为N/2-1~1圈。
下面看一下N=8情况下用到的8个复指数序列，如图所示。
1个直流序列：
。
4个逆时针旋转的复指数序列：
3个顺时针旋转的复指数序列：
3．离散傅里叶逆变换的本质
利用N个傅里叶系数
对N个复指数信号进行加权，合成一个周期信号。
X(k)对应的复指数信号如表所示。
根据傅里叶级数展开式，合成的周期信号为：
将基波周期N等分：
，以
为间隔对
进行采样。
将
代入，得
其中：
代入得
即
是个周期信号，以
为间隔对
进行采样得到的
也是个周期信号。
取其中的一个周期：n=0~N-1，得到N个时域采样数据：
这就是离散傅里叶逆变换的表达式。上述推导过程揭示出了离散傅里叶逆变换的本质：表面上看是对频域采样数据X(k)进行N点离散傅里叶逆变换，实质上是用X(k)/N作为傅里叶系数对复指数信号进行加权合成一个周期信号，再对一个周期进行采样得到N个时域采样数据。
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