（十一）小白都能看懂的通信原理——周期信号的傅里叶级数展开

一、傅里叶级数展开的定义
将一个周期信号分解为一个直流分量和一系列复指数信号分量之和的过程被称为傅里叶级数展开。
周期信号f(t)的傅里叶级数展开式为：

其中：

二、傅里叶级数展开的几何意义
傅里叶级数展开的本质就是用一系列角速度为ω=kω0的旋转向量 来合成周期信号。旋转向量在t=0时刻对应的向量就是傅里叶系数ck，如图所示。

通常ck是个复数。
如何求傅里叶系数呢？
三、傅里叶系数计算公式
傅里叶系数的计算公式如下：

这个公式是怎么得来的呢？
（1）将傅里叶级数展开式中k=m那一项单独列出来：

（2）两端乘以 ：

（3）在基波周期内对两端进行积分：

根据复指数信号的正交性，上式中求和项的积分为0，因此：

（4）求出 ：

将m更换为k，即得傅里叶系数的计算公式。
四、方波信号的傅里叶系数
下面以方波信号为例，求其傅里叶系数。
方波信号x(t)的波形如图2-86所示，周期为T，幅度为1，脉宽为τ。对方波来讲，占空比为1/2，因此：T=2τ。

（1）先来求

这说明幅度为1的方波信号的直流分量为0.5。
（2）再来求

由：ω0=2π/T，得：ω0T=2π又因为：T=2τ，所以：ω02τ=2π，得到：ω0τ=π代入式(2-7)，得

TIPS：sinc函数的定义

sin(πx)是个等幅振荡信号，sin(πx)/πx是个振荡衰减信号，如图所示。

因为：sin(πx)在x=±1，±2，±3…时的值为0所以：sinc(x)=0（当x=±1，±2，±3…时）因为：当x→0时，sin(πx)→πx，sinc(x)→1所以：sinc(x)=1（当x=0时）
五、周期矩形信号的傅里叶系数
在方波信号的傅里叶系数推导过程中，我们用τ表示脉冲的宽度，用T表示脉冲的周期，得出傅里叶系数的表达式：

回顾整个推导过程可以发现，这个结果对幅度为1、脉宽为τ、周期为T的周期矩形信号也是适用的。

至此我们得到了幅度为1、脉宽为τ、占空比为1/n的周期矩形信号的傅里叶系数：

[插图]从上式可以看出：幅度为1的周期矩形信号的傅里叶系数只与占空比有关。
当占空比为1/2，也就是n=2时，代入得到的就是幅度为1的方波信号的傅里叶系数。

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园长你自己手动推导了没有

园长也上干货了